Introduzione.
Durante l’insegnamento di matematica nella scuola superiore di 2° grado conobbi un collega laureato in fisica ,di cui non ricordo il nome, ma molto bravo anche perché conduceva dei corsi scolastici di aggiornamento di matematica e fisica molto interessanti, che insegnava matematica nella scuola secondaria di 1° grado, che mi confidò la sua grande preoccupazione del suo insegnamento peerché diceva : “ho bravissimi alunni, ma hanno difficoltà nelle formule inverse e non so come superarle.
Sul momento non seppi dargli alcun suggerimento perché insegnavo nella scuola superiore di 2° grado e non trovavo nei miei alunni questa difficoltà che,oggi, si risolve con i principi d’equivalenza delle equazioni che si studiano solo nella scuola supperiore di 2° grado in cui si pratica il metodo ipotetico deduttivo, ma in seguito ripensandoci ho osservato che, essendo le formule matematiche e proporzioni fondamentalmente delle uguaglianze dovevano avere un loro collegamento logico ed ho trovato un metodo originale valido basato sulle proporzioni numeriche ben conosciute dagli alunni di questa scuola.
Sinceramente, tanti anni fa, l’ho registrato in internet al sito matematicamente.it ed ho ricevuto anche apprezzamenti da insegnanti di scuola media, con mia grande soddisfazione perché mi assicuravano della sua validità scolastica oltre quella mia personale.
Secondo me tale metodo si può applicare anche nella scuola elementare, previa introduzione delle proporzioni quando al IV anno,se non erro, si studiano i numeri frazionari e loro rapporto.
Tale metodo, applicato nella scuola anche elementare, permette di abituare ogni alunno al ragionamento matematico, che:
° finalmente conosce, insieme al metodo induttivo, necessario, per la giovanissima età ed inesperienza matematica scolastica, nei primi due anni di scuola elementare;
° avvicina il giovanissimo alunno alla vera conoscenza della matematica ricca di dimostrazioni e lo rende più sicuro nei suoi confronti decidendo con sicurezza le scelte future, senza considerarla bestia nera o disciplina scolastica disponibile solo a pochi capaci;
° lo avvicina ad essa, rendendolo più sicuro rispetto al metodo induttivo basato sulla debole memoria meccanica
applicata solo ad esempi da memorizzare senza logica, che nel tempo si perde e rende senz’altro gli alunni insicuri di fronte alle operazioni matematiche, per es. di ricavo delle formule inverse molto importanti;
Si pensi che ogni capacità posseduta dall’uomo non è mai genetica ma solo e sempre attitudinale e relativo al suo ambiente di vita che è il primo educatore con l’aiuto dei propri genitori , quindi i successi scolastici derivano dall’educazione scolastica e dall’interesse provato verso la realtà della vita.
Secondo me quanto ho detto, avvicinerà più facilmente gli alunni alla matematica che viene temuta da molti per le sue iniziali difficoltà che col metodo induttivo non si possono risolvere logicamente.
Fondamentalmente il metodo induttivo, basato solo sulla memoria ed esempi pratici, non si può abbandonare completamente perché è necessario nei primi due anni scolastici, data l’età dei piccoli studenti, quindi la mia idea è l’abbandono del metodo induttivo da circa il 40 anno della scuola elementare ed aggiungendo al solito programma adottato di matematica dei nuovi concetti, modifiche ed argomenti che l’arricchiscono ed aprono la mente dei piccoli alunni a tanti argomenti che prima non riuscivano a capire col risultato di renderli più pronti e sicuri alla risoluzione dei problemi che è la caratteristica della matematica.
Credo che questo mio metodo sia facilmente capibile comunque, se si vuole avere altre delucidazioni si visiti il mio nuovo sito web http://HTTP://www.risoluzionedialcunigiallimatematici.it
in cui si risolve il giallo matematico della duplicazione del cubo, come caso particolare dell’UPF o ultimo problema di Fermat,ma anche geometricamente: cioè come Pitagora ha risolto il problema della duplicazione del quadrato col suo teorema, allo stesso modo ho dimostrato geometricamente l’impossibilità del problema o giallo matematico della duplicazione del cubo ed altri argomenti di cui per i giovanissimi per primo è individuare e riconoscere, dimostrando mediante la proprità invariantiva dell’addizione o sottrazione tutti numeri primi che, oggi, si ricordano a memoria,a parte quelli infiniitamente universitario.
Capitolo 1 Le caratteristiche del Metodo induttivo.
L’insegnamento della matematica, oggi, si applica dalle elementari sino alla scuola secondaria di 1° grado, soprattutto osservando sempre la realtà che ci circonda, dalle elementari alla scuola secondaria del 1° livello, con metodo induttivo, come è stato sempre sin dall’inizio dell’insegnamento scolastico e per noi.
L’osservazione della realtà, infatti , è il primo educatore della matematica perché ci fornisce, l’ordine precostituito naturale i primi ed essenziali concetti matematici, che ci producono vivo interesse e ci impongono vari problemi la cui definizione e soluzione è l’ obiettivo fondamentale della matematica, che ci permette di conoscere e scoprire nuovi argomenti culturali oltre che all’inizio di tipo geometrico, riguardante le figure naturali degli oggetti anche aritmetico. Il metodo induttivo matematico,osservando la realtà e,però, basato solo sulla memoria meccanicas,senzsa logica dimostrativa anche se è necessario per alunni, soprattutto, del primo e secondo anno della scuola primaria :consiste nel fornire tante verità matematiche fondamentali, che per essere introdotti nella vera matematica basata sulla ragione e la dimostrare volta per volta di loro verità: l’alunno deve solo ricordare e ripeter esattamente quanto imparato a memoria con l’unico mezzo utile per un bambino,cioè il gioco didattico, ma la debole memoria meccanica, usata soprattutto nelle poesie è utile solo se si ripete continuamente perchè nel tempo viene meno e si perde nel dimenticatoio.
Perciò,quando il piccolo studente arriva alla IV elementare, ben fornito di nozioni, secondo me può iniziare, con l’aiuto del suo maestro il metodo ipotetico deduttivo, basato sulla ragione e memoria razionale più poente e sicura della memoria meccanica e dimostrazione: l’alunno, così, capisce che ogni cosa che si impara in seguito ad una semplice dimostrazione lo rende più sicuro senza il naturale timore della matematica e gli permette di affrontare più coscientemente quella vera.
Pensandoci bene, si capisce il grande vuoto matematico esistente nella scuola nell’insegnamento della matemaica, l’unica disciplina insieme alla filosofia che si propone di spiegare l’origine di ogni cosa della vita e l’originne del perchè della vita stessa che oggi, per non temerla ed incominciare a capirla ed amarla veramente da parte di tutti, indistintamente,si deve arrivare all’età di 15 anni,se tutto va bene, quando cioè s’incomincia la scuola superiore di 2° grado (che inizia ad insegnare la matematica, introducendo il metodo ipotetico deduttivo, che è caratteristico dello sviluppo della geometria greca Euclidea, in cui ogni problema geometrico, presentato come ipotesi, o Hp, era accettato come vero se dimostrato come tesi o TH: tale metodo era applicato , anche, per problemi aritmetici tramancatoci da Euclide nel 640 a. C. nel suo libro …..
Infatti, il periodo eroico culturale greco, Pitagorico ed Aristotelico, è stato quello in cui si sono sviluppate le Scuole filosofiche, che consideravano la ragione come unico mezzo di fare scienza e che, mediante la speculazionela geometria come il fondamentale argomentodi farla ed che era,solo, quella razionale, prima della nostra sperimentale del 1500 d. C. che è la vera Scienza. Sull’uscio di una scuola filosofica, detta di …, era scritte addirittura questa frase.”nessuno osi sorpassare questa soglia se non ama la geometria.”
In più , devo dire che a scuola, per la severità esistente nel gruppo insegnante, che era formato,soprattutto dagli acculturati preti, si bocciava facilmente un alunno, pur interessandosi con la frequente presenza ed attenzionea., pur notando che si applicava e seguiva molto con la sua presenza ed attenzione… Qui voglio subito affermare, senza alcun dubbio e dalla mia esperienza di studente e d’insegnamento, che questo periodo infatile della scuola deve essere improntato,soprattutto o solo, sulla educazione del discvepolo e svolgimento didattico senza avere manie di semplici e vaghe bocciature che bloccano lo sviluppo normale del bambino e questo si capisce anche e soprattutto nella scuola materna, altrimenti si rischia di violentare,specialmente in termini fisici, i giovanissimi educandi¨questo perché il verbo educare deriva dal latino èducere= condurre da a…(quasi trasportare con pazienza da un punto (quello iniziale )= ad un altro (quello finale), che si raggiunge senza l’uso della verga che si usava solo per gli schiavi e con il lavoro di gruppo in cui è sempre presente l’insegnante e che ogni alunno del gruppo deve preparare e saper esporlo,oltre ai lavori di gruppo individuale
Quindi l’educatore deve essere ben preparato e molto paziente se vuole raggiungere i suoi obiettivi e saper capire la mentalità degli alunni usando come unico mezzo di valutazione l’incoraggiamento ed il lavoro fatto prima insieme a loro mediante i lavori di gruppo, che è il più fruttifero e non si deve sentire o posizionare come il super omnes ma il Deus ex machina pronto ad intervenire e proteggere e poi con lavori individuali per la verifica degli obiettivi preposti..
In questo modo si possono introdurre concetti importanti e necessari per la completa comprensione degli argomenti:
° la proporzionalità diretta ed inversa delle grandezze tra loro collegate nella formula matematica;
° la memoria diventa meccanicamente fuggevole, se non è ripetuta continuamente e senza razionalità, come si
fà per le poesie. Mi ricordo che, al liceo scientifico, del triennio il professore di lettere ci puniva ad imparare interi canti dell’inferno Dante Alighieri e ci piaceva molto.
° si apprende, così,che ogni cosa usata in matematica deve essere dimostrata, come la convenzione, che ho
sentito anche da qualche docente universitario:
– 10=100=30,…=1 che per convenzione matematica è difficile capire se non è dimostrata: si dimostra tramite il rapporto di
potenze ad uguale base ed uguale esponente:
1=an/an=an-n= a0.
– per la scuola media inferiore, il prodotto dei segni
(+)*(-)=(-); che si dimostra secondo la defizione prodtto di due numeri e con la proprietà commutativa;
(-)*(-)=(-):(-)=(+);
che,secondo me, si dimostrano con il rapporto di due numeri negativi uguali
+1=-a/-a= -a*-1/a;
che, attualmente viene ricordato, con metodo induttivo,a memoria per una convenzione che ho sentito dire anche a
qualche docenti di matematica universitario.
Perciò, con l’avvicinamento di molti giovani allo studio della matematica,che non sembrerà più tanto difficicile e bestia rara, sin dalla scuola elementare ce ne saranno di più a sceglierla e studiarla, con il risultato che diventeranno nel futuro persone più preparate e sicure perchè l’educazione giovanile è importante solo alla giovane età, più curiosa e disponibile di fronte al nuovo,tramite concetti ed argomenti della loro età.
Capitilo 2 Caratteristiche di questa ipotesi di rinnovo dell’insegnamento della matematica.
Fondamentalmente il programma di matematica della scuola primaria e scuola secondaria di 1° grado è lo stesso di quello che oggi si utilizza, a cui voglio aggiungere, a volte, dei nuovi argomenti utili per lo sviluppo mentale degli alunni,ma basati sulla ragione e la logica dal 4°,5° anno della scuola primaria,quindi abbandonando decisamente, dopo il primo triennio delle elementari, il Metodo induttivo.
In questo modo gli alunni non devono fare in seguito solo sforzi di memoria meccanica caratteristica del metodo induttivo e che,nel tempo, si perde perché non rinforzata dalla logica e dalla dimostrazione. L’ alunno diviene, così, più sicuro in
nell’affrontare le difficoltà dei Problemi di matematica, che sono la sua caratteristica essenziale, saprà fare nel futuro delle scelte culturali decisionali fra situazioni diverse ben conosciute e non avrà paura della matematica,che oggi tutti considerano dominio solo di geni e di cui hanno paura.
Capitolo 3 Primi esempi di rinnovo della matematica dopo i primi 3 anni di scuola primaria.
L’alunno che,tramite il metodo induttivo, ha conosciuto i numeri interi positivi che rappresentano.nel linguaggio matematio gli elementi di ogni gruppo, li ha visti rappresentati su una linea retta con cui ha potuto effettuare la prima operazione fondamentale del calcolo matematico, cioè l’operazione del confronto, tramite cui ha potuto distinguerli come uguali e diversi, maggiori e minori con i loro simboli grafici, si procede alle altre operazioi fondamentali del calcolo matematico, cioè:
– addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, loro simbolismo e loro proprietà, per il cui uso pratico si debbono introdurre
alcuni nuovi concetti basati su semplici ragionamenti e molto importanti per capire ciò che hanno imparato col metodo induttivo.
Capitolo 4 Le operazioni di addizione e sottrazione con loro proprietà ed uso.
L’addizione e sottrazione godono della proprietà invariantiva,che applicata non ne fanno cambiare il risultato, cioè la
somma e la differenza, che è:
– per l’addizione di due addendi: aggiungendo al primo addendo una stessa quantità numerica, q minore del secondo
addendo e ottraendolo a quest’ultimo, la somma non cambia;
– per la sottrazione: aggiungendo o sottraendo con continuità, ai due termini della sottrazione ,minuendo e sttraendo , una
stessa quntità numerica, minore del sottraendo, la differenza non cambia.
Esempi
– 10 +7 = 17
aplicando la proprietà invariantiva co nq=2, si ha
10 +7 = 12+ 5= 14 + 3= 16+ 117;
– 20 – 7=13;
aplicando la proprietà invariantiva con q=2, si ha:
per addizione di q=2:
20 – 7= 22- 9= 24- 11= 26- 13= …. 13;
per sottrazione di q=2:
20 – 7= 18-5 = 16-3= 14- 3 = 12 – 1=13
Capitolo 5 La divisione, sue proprietà ed uso.
Nei primi tre anni il programma di aritmetica è lo stessi dell’attuale, secondo il metodo induttivo ma,a tratti, si possono
aggiungere degli argomenti nuovi, per esempio sulle operazioni fondamentali:
° della divisione, si può conoscere :
– i divisori (che sono suoi sottomultipli di un numero intero, che è il loro multiplo;
– se due numeri interi hanno un divisore omuni (divisori che, negli es.i sono scritti neri in parentesi) come: 6 e 15 (3);
15 e 20 (5), ecc…,tale situazione ha una grande applicazione di rircerca di numeri primi,come vedremo nel capitolo 6
Capitolo 6 i numeri primi eloro calcolo
Siccome i numeri primi sono quasi tutti numeri dispari meno l’unico pari 2,trasformandoli in somma di due numeri, uno pari e l’altro dispari,
secondo il concetto
dispari= pari + dispari1
ed applicando con continuità la proprietà invariantiva dell’addizione o della sottrazione (ma è più comodo e semplice l’addzione), con quantità numerica q minore del secondo termine, si può arrivare alla situazione di essere uguali al prodotto di due fattori primi nel caso che gli addendi hanno un divisore comune, cioè il dispari considerato non è primo, altrimenti si arriva che il numero dispari è primo, come i seguenti esempi:
– 91 è primo? 91=70+21= 7*10 +7*3 )= 7(10+3) =7*13; allora 91 non è primo;
– 61 è primo? 31+ 30=34+27=37+24=40+21=43+18= 46+15=49+12=52+9=55+6=58+ 3; allora 61 è primo;
quindi trasmite la proprietà invariantiva dell’addizione o sottrazione (è più comoda quella dell’addizione) si può ricercare i
numeri primi di piccola grandezza dimostrandoli.
Capitolo 7 Le proporzioni
° negli anni successivi sino alla 5a è possibile:
– la modifica del programma di matematica sui numeri frazionari e loro rapporto ed in particolare la definizione¨di
proporzione (che è l’uguaglianza di due rapporti:
– introduzione delle proporzioni e loro proprietà fondamentale (prodotto dei medi uguale a quello degli estremi);
– problemi sulle proporzioni : concetto sulla percentuale(%;) e problemi del quarto proporzionale ( cioè il 4° numero dopo tre
numeri dati che forma una proporzione);
– applicazione delle proporzioni, ottenutie da semplici artifici matematici applicati alle formule matematiche di cui con il
metodo del 4° proporzionale si ricavano le formule matematiche inverse:
– variando la formula con artifici matematici: del tipo:
. moltiplicando i 2 membri di una formula o l’eguaglinza di un prodotto numerico per 1, come
6=2*3—>1*6=2*3*1 uguale alla proporzione 6:2=3:1,per la proprietà fondamentale delle proporzioni;
. dividendo i due memri di una formula del tipo v=s/t per 1 che dà v/1=s/t che dà la proporzione, per definizione v:1=s:t;
e problemi relativi, che saranno ripresi più completamente alla scuola media superiore di 1°grado.
Alcuni esempi: superficie del rettangolo
– S= b*h (la superficie de rettahgolo è direttamente proporzionalealla base ed altezza) che, con un artificio matematico,
diviene
1*S= b*h
che, per la proprietà fondamentale della proporzioni (prodotto dei medi uguale a quello degli estremi) dà la
proporzione S: h=b:1;
Da cui , con la regola del 4° proporzionale si trova la formula inversa che si vuole;
– Area del Triangolo, che è la metà del rettangolo conuguale base ed altezza,
S= (b*h)/ 2
che diviene moltiplicando per 2 i membri dell’uguaglianza
2*S= b*h quindi,per la proprietà fondamentale delle prporzioni
2:b=h:S;
– la formula della velocità media,Vm di un corpo è Vm=s/t che si può anche scrivere
Vm/1=s/t
che per definizione di proporzione (che è l’uguaglianza di due rapporti) diviene
Vm:1=s:t;
Ecc….
– E’ particolare la formula dell’ area del trapezio
– S= (B+b)*h/2 → 2*S=(B+b)*h che, ponendo B+b=x diviene
S:x=h:2
ricavando x=B+b da cui, conoscendo una delle basi si ricava l’altra.
Per finire, dagli esempi si ricava la regola a croce, che vale solo per i fattori della formula data.
Capitolo 8 Alcuni concetti che derivano dalle formule matematiche.
° concetto di uguaglianza e sue proprità: riflessiva,simmetrica, transitiva:
° la proporzionalità diretta ed inversa esistente nelle formule matematiche.
° Ogni formula o uguaglianza matematica, in particolare quella geometrica, contiene
delle entità, il cui valore varia in dipendenza di un’altra, secondo la proporzionlità diretta od
inversa, ad esempio:
– S= b*h che dà la superficie del rettangolo di base b ed altezza h varia così:
— se b aumenta del doppio del triplo o del quadruplo anche S aumenta del doppio,
triplo e quadruplo;
— se h aumenta del doppio del triplo o del quadruplo anche S aumenta del doppio,
triplo e quadruplo;
questo comportamento esprime la proporzionalità diretta di S rispetto a b e ad h;
esempio: Se h=1 e:
– b=2 allora S=2;
– b=4 allora S=4;
così se b è sempre lo stesso ugua1e per es. ad 1, ed h varia del doppio, del triplo e del
quadro,per cui la superficier di un rettangolo è direttamente proporzionale alla base ed
all’atezza;
° Se la velocità media del movimento di un corpo è
Vm=s/t
al variare dello spazio percorso s del doppio del triplo del quadro, anche la Vm aumenta della
stessa quantità, ma, se il tempo t,a parità di s, varia del doppio del triplo del quadruplo la Vm
diminuisce della metà, di 1/3, di 1/4… per cui la Vm è direttamente proporzionale ad s ed
inversamente proporzionale a t.
° il concetto di “uguale a…” ha simbolo matematico “=” ed è il modo di separare primo e
secondo membro e tale simbolo si usa nei risultati delle operazioni matematiche, ad es.:
– addizione : 2+ 3=5
– sottrazione : 7-2=5;
– moltiplicazione : 2*3= 6;
– divisione 24:3= 8 ;
– una formula S= b*h;
gode della proprietà
° invariantiva: il valore dei 2 membri di una eguaglianza è lo stesso moltiplicando i due
membri dell’uguaglianza per un numro diverso da zero e non cambia se si moltiplicanno i due
per 1;
Esempi:
2*3=6 :
moltiplicandola per 2 si ha
2*2*3 =2*6 cioè 12=12
se moltiplichiamo per 1 i due membri l’uguaglianza è la stessa
1*2*3=6*1 cioè 2*3=6;
se si scrive il fattore unità solo al secondo membro il risultato ha un’altra interpreacione:
2*3=6*1. che indica la proprietà fondamentale di una proporzione,cioè il prodotto dei medi è uguale a quello degli estremi.
° siflessiva: se a =b allora anche b=a.
esempio 3=3; 10=10;… – se a =2 anche 2=a;
°simmetrica
Per le potenze
an*am= am+n allora anche am+n =a m*an cioè il prodotto di due
potenze di uguale base è una potenza della stessa base ed avente per esponente la somma
degli esponenti, esempio.
23*22= 25 infatti lo sviluppo delle ptenze dà (2*2 *2)* (2*2)=25;
cioè
25=22*23 che è un modo di trasformare una potenza;
° trasnsitiva, che è molto importante quando ,per arrivare asd un obiettivo, si effettuano diversi passaggi matematici.
Se a=b e b=c allora anche a=c, che è la proprità che dimostra con deversi passaggi che una quantità è uguale ad una terza o ad un’ennnupla.
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